Makkelijk te verwarren met het oneindigheidsteken, een cirkel, of welke complexere krakeling- en knoopvormen dan ook, het Lissajousfiguur is een afbeelding van een samengevoegde harmonische beweging, vernoemd naar de Franse natuur- en wiskundige Jules Antoine Lissajous (1822-1880). De vorm wordt beschreven door een parametrische vergelijking met twee variabelen die zich in de tijd herhaalt- het resulterende figuur laat zien hoe twee systemen in en uit fase geraken.
In 1855 bouwde Lissajous zijn ‘mooie machine’, ontworpen om een beeld van twee over elkaar gelegde systemen te tekenen. Deze werd gemaakt in zijn werkplaats in Parijs door een paar stemvorken in een rechte hoek tegenover elkaar te plaatsen, waarvan beide zijn uitgerust met een spiegeltje. De lichtbron wordt door een lens gebundeld, weerkaatst van de ene naar de andere spiegel, en wordt geprojecteerd op een groot scherm op enige afstand. Wanneer de stemvorken worden aangeslagen en de toon wordt voortgebracht, beginnen eenvoudige trillingen de spiegels te bewegen in een regelmatig oscillerend patroon. Het geprojecteerde beeld gaat de merkwaardige en mooie curves van het Lissajousfiguur beschrijven.
Voor zijn machine kreeg Lissajous de Lacaze Prijs uitgereikt in 1873, en was onderdeel van de Wereldtentoonstelling in Parijs in 1867. Verder onderscheidde hij zich niet als wetenschapper of wiskundige. Eigenlijk had de Amerikaan Nathaniel Bowditch bijna vijftig jaar eerder soortgelijke figuren voortgebracht met zijn harmonograaf.
De enkelvoudige harmonische beweging die Lissajous opmat, kan makkelijk worden beschreven aan de hand van de slinger van een klok. De snelheid van de slingerende pendule is niet constant, maar versnelt en vertraagt volgens een precies te voorspellen kromme. Wanneer deze in kaart wordt gebracht over een zeker tijdsbestek, beschrijft de beweging van de slinger een sinusgolf – de zogenaamde “pure golf” of “nulbeeld” van een enkelvoudig dynamisch systeem.
Samengestelde harmonische beweging is dus eigenlijk de voeging van twee sinusgolven die een serie overlappende golven registreren, onderscheppen en voortbrengen. Wanneer ze onder een rechte hoek naast elkaar worden gezet, produceren twee sinusgolven die enkelvoudige harmonische beweging beschrijven de verassend ingewikkelde figuren die Lissajous ontdekte.
Lissajousfiguren kunnen vandaag de dag veel worden aangetroffen in computer graphics, wetenschapsmusea, in laserlichtshows en, misschien op de meest nauwkeurige wijze, gebrand op het groene fosfor scherm van een kathodestraaloscilloscoop. Een standaard onderdeel van elektronisch testgereedschap, de oscilloscoop maakt het mogelijk om signaalvoltages te bekijken als een tweedimensionale grafiek van de mogelijke verschillen, in kaart gebracht als een functie van de tijd. Bij het testen van een elektronisch systeem vormen de faseverschillen tussen twee signalen tegenovergestelde, met elkaar verbonden sinusgolven op het scherm van de oscilloscoop, die telkens een baan beschrijven en herbeschrijven in een nauwkeurig en regelmatig patroon.
Deze twee variërende signalen produceren een niet-aflatende oneindigheid (figuurlijk en letterlijk, aangezien het daadwerkelijk de vorm van het oneindigheidsteken aanneemt bij de juiste beginwaarden). Het Lissajousfiguur wordt een beeld van timing en sequentie, registratie en resonantie, geluid en muziek.
Specifieke vormen worden gemaakt in overeenstemming met de resonerende harmonische intervallen die alomtegenwoordig zijn in de westerse muziek (grote kwint, kleine terts, grote sext, etc.). Ieder figuur kan worden vervormd tot welk ander figuur dan ook, en nog een oneindige hoeveelheid tussenvormen, bij het convergeren en divergeren van oscillerende sinusgolven in de richting van harmonische samenklank en daarvandaan.
Jules Antoine Lissajous vond een manier om geluid te zien (met spiegels, licht en vibrerende stemvorken.) Maar de meest radicale mogelijkheid van zijn wiskundig werk schuilt wellicht in de betrokkenheid die het van het publiek verlangt. Het beeld dat Lissajous schiep ontstaat langzaam, recht voor je ogen – en verandert onmerkbaar, vormt zich, past zich aan en herschikt zich met verloop van tijd.