Makkelijk te verwarren met het oneindigheidsteken, een cirkel, of welke complexere krakeling- en knoopvormen dan ook, het Lissajousfiguur is een afbeelding van een samengevoegde harmonische beweging, vernoemd naar de Franse natuur- en wiskundige Jules Antoine Lissajous (1822-1880). De vorm wordt beschreven door een parametrische vergelijking met twee variabelen die zich in de tijd herhaalt- het resulterende figuur laat zien hoe twee systemen in en uit fase geraken.

In 1855 bouwde Lissajous zijn ‘mooie machine’, ontworpen om een beeld van twee over elkaar gelegde systemen te tekenen. Deze werd gemaakt in zijn werkplaats in Parijs door een paar stemvorken in een rechte hoek tegenover elkaar te plaatsen, waarvan beide zijn uitgerust met een spiegeltje. De lichtbron wordt door een lens gebundeld, weerkaatst van de ene naar de andere spiegel, en wordt geprojecteerd op een groot scherm op enige afstand. Wanneer de stemvorken worden aangeslagen en de toon wordt voortgebracht, beginnen eenvoudige trillingen de spiegels te bewegen in een regelmatig oscillerend patroon. Het geprojecteerde beeld gaat de merkwaardige en mooie curves van het Lissajousfiguur beschrijven.

Voor zijn machine kreeg Lissajous de Lacaze Prijs uitgereikt in 1873, en was onderdeel van de Wereldtentoonstelling in Parijs in 1867. Verder onderscheidde hij zich niet als wetenschapper of wiskundige. Eigenlijk had de Amerikaan Nathaniel Bowditch bijna vijftig jaar eerder soortgelijke figuren voortgebracht met zijn harmonograaf.

De enkelvoudige harmonische beweging die Lissajous opmat, kan makkelijk worden beschreven aan de hand van de slinger van een klok. De snelheid van de slingerende pendule is niet constant, maar versnelt en vertraagt volgens een precies te voorspellen kromme. Wanneer deze in kaart wordt gebracht over een zeker tijdsbestek, beschrijft de beweging van de slinger een sinusgolf – de zogenaamde “pure golf” of “nulbeeld” van een enkelvoudig dynamisch systeem.

Samengestelde harmonische beweging is dus eigenlijk de voeging van twee sinusgolven die een serie overlappende golven registreren, onderscheppen en voortbrengen. Wanneer ze onder een rechte hoek naast elkaar worden gezet, produceren twee sinusgolven die enkelvoudige harmonische beweging beschrijven de verassend ingewikkelde figuren die Lissajous ontdekte.

Lissajousfiguren kunnen vandaag de dag veel worden aangetroffen in computer graphics, wetenschapsmusea, in laserlichtshows en, misschien op de meest nauwkeurige wijze, gebrand op het groene fosfor scherm van een kathodestraaloscilloscoop. Een standaard onderdeel van elektronisch testgereedschap, de oscilloscoop maakt het mogelijk om signaalvoltages te bekijken als een tweedimensionale grafiek van de mogelijke verschillen, in kaart gebracht als een functie van de tijd. Bij het testen van een elektronisch systeem vormen de faseverschillen tussen twee signalen tegenovergestelde, met elkaar verbonden sinusgolven op het scherm van de oscilloscoop, die telkens een baan beschrijven en herbeschrijven in een nauwkeurig en regelmatig patroon.

Deze twee variërende signalen produceren een niet-aflatende oneindigheid (figuurlijk en letterlijk, aangezien het daadwerkelijk de vorm van het oneindigheidsteken aanneemt bij de juiste beginwaarden). Het Lissajousfiguur wordt een beeld van timing en sequentie, registratie en resonantie, geluid en muziek.

Specifieke vormen worden gemaakt in overeenstemming met de resonerende harmonische intervallen die alomtegenwoordig zijn in de westerse muziek (grote kwint, kleine terts, grote sext, etc.). Ieder figuur kan worden vervormd tot welk ander figuur dan ook, en nog een oneindige hoeveelheid tussenvormen, bij het convergeren en divergeren van oscillerende sinusgolven in de richting van harmonische samenklank en daarvandaan.

Jules Antoine Lissajous vond een manier om geluid te zien (met spiegels, licht en vibrerende stemvorken.) Maar de meest radicale mogelijkheid van zijn wiskundig werk schuilt wellicht in de betrokkenheid die het van het publiek verlangt. Het beeld dat Lissajous schiep ontstaat langzaam, recht voor je ogen – en verandert onmerkbaar, vormt zich, past zich aan en herschikt zich met verloop van tijd.

‘Who can does, who can not teaches!’ schreef Shaw. Daar bedoelde hij mee dat als je werkelijk goed bent in een vak dat je dat vak dan liever als onderzoeker beoefent dan als docent.

In veel vakken wordt lesgegeven door lesboeren, die zelf ook al geschoold zijn door lesboeren. Het woord lesboer klinkt te oneerbiedig, maar het verschijnsel is onmiskenbaar. Zo hebben de meeste onderzoekers zichzelf opgeleid onder leiding van een onderzoeker.

Hoe voorkom je nu dat onderzoekers en docenten te ver uit elkaar groeien? Allereerst door zoveel mogelijk docenten aan te nemen die zelf onderzoeker zijn geweest, het liefst met succes.

Maar daarnaast door leerboeken, klappers en practicumhandleidingen zo te schrijven dat ze een beeld geven van hoe het in de onderzoekspraktijk werkelijk toeging en toegaat.

De meeste schoolboeken zijn geschreven vanuit de kennis en wijsheid van het heden. Ze behandelen de rode draad van de geschiedenis van het vak en haar diverse disciplines van begin tot het eind. In leerboeken zul je niet of nauwelijks dwaalwegen of doodlopende ontwikkelingen tegenkomen. En als dat gebeurt weet je van te voren dat het een vergissing was. In practicumhandleidingen zul je geen proef tegenkomen die een of wortel uit de geschiedenis van het vak verduidelijkt. Zo krijg je het idee dat het vak zich ontwikkelde van een kant en klare vraag naar een antwoord dat voor het oprapen lag. De kennis en het inzicht worden gedoceerd aan de hand van de rechtvaardiging ervan.

Maar je kunt een vak toch ook behandelen aan de hand van haar ontdekkingsgeschiedenis? Door niet alleen de grote lijnen te behandelen maar ook de cruciale keerpunten? Als een iteratief proces van gissen, missen en raken. Dan leid je en passant ook toekomstige onderzoekers op. En vertel je toekomstige leraren hoe onderzoekers te werk gaan.

Als je, om welke reden dan ook, iets wilt onderzoeken, waarvan je vreest dat je baas jou dat niet zal toestaan, dan kun je hem dat gewoon vragen. Maar als je baas er tegen blijkt wordt het natuurlijk extra lastig om het toch te bestuderen. Edoch, daar zijn geslaagde voorbeelden van.

De Compact Disc, die nu CD heet, was in 1979 het resultaat van clandestien onderzoek van medewerkers van het Philips Nat Lab, die dat tegen de wil van hun baas deden. Het was een spin-off van de Laserdisc. De groep had toestemming gevraagd om te ontwikkelen wat inmiddels een DVD heet, maar niet gekregen. Om dit onderzoek toch te doen werd er toen heimelijk op het lab een kamer ingericht met een deur die op slot kon met het bordje VERBODEN TOEGANG: LEVENSGEVAAR! Clandestien werd er een prototype DVD uitgevogeld, die o zo geschikt bleek voor muziek. Deze ‘CD’ werd op de markt gebracht met de concurrent Sony. Uit deze CD ontstond de DVD.

Een ander voorbeeld van geslaagd clandestien onderzoek is wat nu Nescafé heet. Het werd ontwikkeld door een chemicus bij Nestlé in Zwitserland, die er zó lang over deed, dat hem uiteindelijk werd gevraagd ermee te stoppen. Hij veinsde toen te gaan stoppen, maar heimelijk ging hij gewoon door tot het uiteindelijk lukte. En natuurlijk werd hij toen niet ontslagen.

Clandestien onderzoek is al zo oud als de wereld. Da Vinci bijvoorbeeld deed secties op lijken in Italiaanse ziekenhuizen zonder ófficiële toestemming van prelaten, die het stilzwijgendwél gedoogden.

Op een lab, zowel universitair als industriëel, is het meeste onderzoek wit. Daarnaast is er grijs, zwart en clandestien onderzoek en de broodnodige osmose tussen deze verschillende soorten. Er bestaat zelfs laatjesonderzoek: onderzoek dat zwart (ongevraagd) was, of clandestien (verboden), en zóveel heeft opgeleverd dat het wordt gebruikt voor budget hunting, door te doen alsof het onderzoek niet werd verricht (de resultaten blijven in de la). Als de subsidie wordt verstrekt kan daar weer vrij en nieuw onderzoek mee gedaan worden, al gebeurt dat heimelijk. En de positieve resultaten van het laatjesonderzoek worden keurig op tijd naar de subsidiegever gestuurd, als tussen- en eindresultaat.

Het voordeel van laatjesonderzoek is dat het vrij onderzoek oplevert, het nadeel ervan is dat originele onderzoekers, die zich er niet aan bezondigen, op hun eventuele negatieve resultaten worden afgerekend en zo worden gemárginaliseerd in plaats van gefáciliteerd!

De munter van het woord serendipity, de Britse auteur Horace Walpole, omschreef dit begrip in 1754 als het “door toevalligheden en scherpzinnigheid ontdekken van dingen waar ze níet naar op zoek waren”. Hij verwees naar De Drie Prinsen van Serendip, een Perzisch sprookje, waarin drie hoogheden uit Sri Lanka, waar de naam Serendip naar verwijst, allerlei verrassende waarnemingen deden en ook allemaal juist duidden.

De moderne definitie van serendipiteit is 1) het talent een verrassende waarneming te doen en correct te duiden, en 2) een vrucht van dit talent.

Serendipiteit is, kortom, de kunst een ongezochte vondst te doen, of de onberaamde vondst zelf. Het kan gaan om ‘toevallige’ ontdekkingen, uitvindingen of creaties uit wetenschap, techniek of kunst, en om onverwachte gedachtes. Met ‘toevallig’ wordt niet bedoeld, dat je ‘zomaar’ iets vindt, in de wiskundige zin van at random. Het heeft hier een psychologische betekenis: iets ‘valt’ je ‘toe’, vaak terwijl je naar iets anders zoekt.

Zo’n ‘toevallige’ observatie is meestal het waarneembare gevolg van een (nog) onbekende oorzaak. Zodra die onbekende oorzaak bekend is, verdwijnt het ‘toevallige’ karakter van de observatie. Uit de praktijk blijkt dat het zinnig is verrassende waarnemingen zo correct mogelijk te duiden, vooral als ze iets nieuws kunnen opleveren. Zo’n wonderlijke observatie kan een enigma, een anomalie of een noviteit zijn.

Bij een enigma is er sprake van een raadsel: geen enkele gangbare theorie biedt een verklaring. Dat was bijvoorbeeld het geval toen de oude Grieken tot hun verrassing waarnamen dat barnsteen stof kan aantrekken. Een anomalie is per definitie strijdig met de heersende theorieën. Toen uit experimenten bleek dat uraniumkernen kunnen splitsen, was dat strijdig met de heersende overtuiging dat atomen ondeelbaar waren. Pas toen men die opvatting liet varen, was het te begrijpen. Bij een noviteit is dat anders, die botst namelijk niet met de aanvaarde theorieën. De waarneming van Drais dat hij het stuur van zijn loopfiets ook kon gebruiken om in evenwicht te komen en te blijven paste in de mechanica van zijn tijd.

De Sofisten wisten al dat je niet naar het nieuwe kunt zoeken, omdat je dan niet weet wat je zoeken moet. Wat echt nieuw is, is immers niet af te leiden uit het oude, dan zou het namelijk niet écht nieuw zijn. Voor het vinden van het werkelijk onbekende is dan ook een verrassing nodig, een wonderlijke waarneming of gedachte.

Systematisch zoeken en toevallig vinden (serendipiteit) sluiten elkaar overigens niet uit, ze complementeren en versterken elkaar zelfs. Ongezochte vondsten blijken vaak bijvangsten. Zolang je op je krent zit, struikel je immers nergens over.

De ‘toevallige vondst’ is zeldzaam. Het gaat vooral om ‘toevallige waarnemingen’ die juist worden verklaard. Dat vergt kennis van zaken. Je moet immers vooraf weten wat je kunt verwachten om het onverwachte als zodanig te kunnen waarnemen. En het correct duiden ervan vergt ook kennis en ervaring.

Dus “Verwacht ook het onverwachte!” (vrij naar Heraklitus). En “Readiness is all!” (Shakespeare)! Poe gebood: “Reken op het onvoorziene!”

In het Engels: personal research. Fleming schreef er voorbeeldig over: “De onderzoeker moet vrij zijn om een nieuwe ontdekking te volgen, waar deze hem ook mag brengen. Elke onderzoeker moet een zekere tijd voor zichzelf hebben, om zijn eigen ideeën te kunnen uitwerken zonder ze aan iemand te verantwoorden, tenzij hij dat wil. Gedenkwaardige dingen kunnen in iemands vrije tijd plaatsvinden. Dorst naar onmiddellijke resultaten is gewoon, maar zeer schadelijk. Echt waardevol onderzoek is een zaak van lange termijn. Het kan best zijn dat er in jaren niets uit een lab komt met praktisch nut. Dan, heel plotseling, duikt er iets op, zeer verschillend misschien, van waar naar gezocht werd, dat de kosten van het lab honderd jaar dekt.”

Deze bootlegging, dit ‘spelen in de tijd van de baas’ is zu lehren und zu lernen, op school en universiteit, in theorie én praktijk.

Je weekt bijvoorbeeld peperkorrels in water en vraagt practicumlopers om met de microscoop te bekijken waarom peperkorrels zo scherp zijn. Hebben ze stekeltjes? Dan blijkt er in de microscoop iets te bewegen. Zijn er studenten die het zien? Zo ja: welke? Dan vraag je je practicanten te tekenen wat ze ontwaren. “Je ziet pas iets, als je het tekent,” schreef Da Vinci. Dan onthul je dat Van Leeuwenhoek ook naar stekeltjes op peperkorrels zocht, tevergeefs, en toen vond wat we nu bacteriën noemen. Dit experiment werd gedaan op mijn verzoek, in Amsterdam, op een lyceum, en met succes, de leerlingen bleken zelfs ontroerd. Zo ontdek je ook latént talént: door verrassende waarnemingen te verstoppen in practica, onaangekondigd natuurlijk, edoch. De practicumlopers, die de verrassende waarneming gemist hebben, of er niet, of te weinig bij stil stonden, hebben er óók van geleerd, en wel dat ze ónvoldoende opmerkzaam, verbaasd, lenig en actief waren, waar anderen dat wél waren. Als je namelijk op iets interessants stuit, moet je dat bestuderen en de boel even de boel laten, zoals de behaviorist Skinner adviseerde.

De Hongaarse stress-endocrinoloog Hans Selye schreef o zo aanstekelijk: “Voor mij, is dat één van de kostelijkste gaven waar een geleerde van kan genieten. Gewoonlijk concentreren we ons zo op wat we willen onderzoeken, dat andere feiten ons bewustzijn domweg niet bereiken, zelfs als ze van veel groter belang zijn. Dat is vooral het geval bij dingen die zó afwijken van het gewone, dat ze onwaarschijnlijk lijken. Toch is alleen het ónwaarschijnlijke werkelijk onze aandacht waard.”